數學能教給我們的，不只是不犯錯──讀《數學教你不犯錯〈下〉》

「數學裡有太多概念今日看來很顯然，譬如負數的量可以加減、用兩個數代表平面上的點很管用、不確定事件的機率能用數學來描述與操作，但這些其實原來都不那麼顯然。倘若它們真的顯然，就不會那麼晚才出現在人類歷史裡了。」這裡所說「顯然」，或可稱為「理所當然」。說起來，生活中有太多事情不也是如此？我們在習得某些所謂常識或知識以後，總易視其基本論述所推理出的思維為理所當然，甚至對於「有人無法理解該觀念」，感到不可思議。

對許多事物，我們總過分輕易地存有類似的意識形態。於是在不自覺間變得懶惰，怠於理解不同思維者的論點。然而，「倘若它們真的顯然，就不會那麼晚才出現在人類歷史裡了。」太多現今我們視為理所當然者，其實是一代又一代的人們在其中困惑、掙扎、論證以後所得。明白這點以後，我們對於相異的思維邏輯，會不會多一點寬容？



1982年諾貝爾經濟獎得主斯蒂格勒（George Stigler）有句話這麼說：「如果你從沒錯過航班，那麼你就是在機場裡耗費太多時間了。」
這看似偏激的話，靜心思量，似乎頗有道理。對於懼怕錯過航班（不只飛機，還有火車、高鐵⋯⋯），我總顯得既焦慮且緊張，讀到這句，不免在心裡大表贊同。我好容易因恐怕錯過發車時刻，過早出門，於是在機場或車站處，耗費過多生命。作者以標準單位「utils」（簡稱U）來量度，依據個人對每件事情（比如錯過航班）估量的價值，計算期望值以驗證蒂格勒的說法。

論及期望值，又有另一有趣的事例，關於發現了巴斯卡三角形的巴斯卡，這位同時也是神學家的天才數學家。有本《思想錄》收錄了巴斯卡的筆記與論說文，其中有個思辨，據說被稱為「巴斯卡之賭」，寫著「以在世一日的劬勞換得綿長的喜悅。」

曾耳聞巴斯卡有過這樣的分析「假如你有信仰，且真的有神存在，那你會上天堂，超棒；
若你有信仰而神不存在，你浪費了一些上教堂的時間，有點虧，但沒虧很大；
假若你不信神且神不存在，那你沒輸沒贏；
若是你不信神而神果真存在，那你得下地獄了。」不知是否自這句衍生而來。

根據巴斯卡的言論，作者依「信仰的成本與獲利」，計算了期望值。

首先假設我們很懷疑神的存在，因此，神存在的機率被設定為5%；若我們信神且真的有神，回報為「綿長的喜悅」，以前面所提的U來量度，定量為：獲得無窮多的U；若我們信神但其實沒有神，考慮的成本包括花在禱告的時間與為了追求救贖所放棄的機會，則付出的代價或可估算為100U。

因此，信仰的期望值為：

（5%）X 無窮多U ＋ （95%）X (-100U）

無窮多的5%還是無窮多，可將我們為信仰所付的代價淹沒。

當然這裡設定的場景僅有兩種選項：神存在且會賞賜一切信祂的人，或者，神不存在。其實並未考慮到所有的假設。

作者隨即又提及文學家與數學家的不同見解。伏爾泰的論證就很單純：看看這世界，多麼奇異美妙，所以神存在。證明完畢！



上述期望值的計算，既是依據個人對事情給定的估價，另一件值得探討的，以我們最熟悉的語言來表述，便是「今天要你付出的一萬元，在你心目中價值多少？」

一萬元，如此清晰明白的量化價值，原來還能有所謂「心目中的價值」可供探討嗎？

作者引用丹尼爾．白努利（Daniel Bernoulli）在解答「聖彼得堡悖論」時所言：謬誤所在就是把一個杜卡（Ducat）當作一個杜卡。富人手裡的一個杜卡與農夫手裡的一個杜卡，價值並不相同，單從他們對一個杜卡的珍惜程度，便可看出明顯差異。因此，加倍的杜卡並不能轉換成加倍的U，並不是所有的曲線都是直線，金錢與效用間的關係，是由某種非線性曲線所主宰。



我想引用書中的一句話為這篇心得作結：數學史是一部積極拓展疆域的歷史，數學技術變得更寬廣而豐富時，數學家就會找途徑，對付以前被認為不在他們專業範圍內的問題。

《數學教你不犯錯》上下兩冊，其實能告訴我們的，比「數學教我們不犯錯」這字面上的主題還要深而且廣。我想，數學不只教我們不犯錯，或許也教了我們面對生命可以擁有什麼樣的態度。